Matematika Kelas 10 : Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers4 min read

Reading Time: 3 minutes

Fungsi komposisi dan fungsi invers merupakan salah satu materi di pelajaran matematika yang perlu kamu pelajari. Karena, materi ini sering keluar di soal-soal UTBK-SBMPTN loh. Sekarang kita berkenalan dulu dengan fungsi komposisi dan fungsi invers ini. Invers memiliki arti “kebalikan” jadi fungsi invers artinya fungsi kebalikan. Sedangkan fungsi komposisi adalah gabungan dari dua fungsi yaitu fungsi f(x) dan g(x)  yang disimbolkan dengan “ o “. Yuk kita simak penjelasan mengena fungsi komposisi dan fungsi invers dibawah ini!

A. Fungsi Invers

Fungsi adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B jika setiap anggota himpunan A berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan B. Dalam pembahasan relasi dan fungsi, himpunan yang terlibat digolongkan ke dalam tiga jenis daerah. 

1. Daerah asal (domain)

Dalam hal ini, himpunan A adalah daerah asal (domain)

2. Daerah kawan (kodomain)

Dalam hal ini, himpunan B adalah daerah kawan (kodomain)

3. Daerah hasil (range fungsi)

Daerah dari hasil dari pemetaan antara domain dan kodomain

Secara umum, himpunan ketiga daerah tersebut dapat dilihat pada gambar di bawah.

Jadi, dari diagram panah di atas dapat disimpukan:

Daerah asal atau Domain adalah A = {1,2,3,4}

Daerah kawan atau Kodomain adalah B = {a,b,c,d,e}

Daerah hasil atau Range fungsi = {a,b,d,e}

Sebuah fungsi dapat dinotasikan dengan huruf kecil sepeti f, g, h. Simbol fungsi yang memetakan himpunan A ke B adalah

f: A → B

B. Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi merupakan suatu penggabungan operasi pada dua jenis fungsi f (x) dan g (x) sampai menghasilkan fungsi baru. Operasi fungsi komposisi biasa yaitu dilambangkan dengan “o” dan dibaca dengan komposisi atau bundaran.

Misalkan fungsi

f :A→B ditentukan dengan rumus y=fx 

g :B→C ditentukan dengan rumus y=gx

Fungsi komposisi dan ditentukan dengan aturan:

h(x)=(g∘f)(x)=g(f(x))

Hal ini dapat diperjelas dengan gambar berikut.

Syarat fungsi g dan f dapat dikomposisikan (g∘f) atau (f∘g) ada, jika daerah hasil dari f adalah himpunan bagian dari daerah asal dari g, yaitu f(A)⊆Dg. Sifat-sifat Fungsi Komposisi adalah sebagai berikut.

a. Pada umumnya, komposisi fungsi tidak bersifat komutatif.

(f∘g) (x) ≠ (g∘f)(x)

b. Komposisi fungsi bersifat assosiatif

Untuk sebarang fungsi f(x), g(x), dan h(x) berlaku sifat assosiatif.

(f∘(g∘h))(x)=((f∘g)∘h)(x)

c. Dalam komposisi fungsi terdapat unsur identitas, yaitu fungsi identitas I(x)=(x) yang memiliki sifat

(f∘I)(x)=(I∘f)(x)=f(x)

C. Fungsi Invers

Suatu fungsi f memiliki fungsi invers (kebalikan) \(f^{-1}\) jika f merupakan fungsi satu-satu dan fungsi pada (bijektif). Hubungan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:

\((f^{-1})^{-1}=f\)

Sederhananya, fungsi bijektif berlangsung pada saat jumlah anggota domain sama dengan jumlah anggota kodomain.

Misalkan f fungsi yang memetakan x ke y, sehingga dapat ditulis y = f(x),  maka \(f^{-1}\) adalah fungsi yang memetakan y ke x, ditulis x =\(f^{-1}\)(y). Sebagai contoh f : A→B fungsi bijektif. Invers dari fungsi f adalah fungsi yang mengawankan setiap elemen B dengan tepat satu elemen pada A. Invers dari fungsi f dinyatakan dengan \(f^{-1}\) seperti di bawah ini:

Terdapat tiga langkah untuk menentukan invers dari suatu fungsi, yaitu:

1. Ubahlah bentuk y = f(x) menjadi bentuk x = f(y).

2. Tuliskan x sebagai \(f^{-1}\) (y) sehingga \(f^{-1}\) (y) = f(y).

3. Ubahlah variabel y dengan x sehingga diperoleh rumus fungsi invers \((f^{-1})\) (x).

Misalkan, diketahui f(x)=2x+8. Akan dicari fungsi inversnya

1. y = 2x + 8 ↔ x = \(\frac{y-8}{2}\)

2. x = \(\frac{y-8}{2}\) ↔ \((f^{-1})\)(y) = \(\frac{y-8}{2}\)

3. \(f^{-1}\)(y) = \(\frac{y-8}{2}\) ↔ \(f^{-1}\) (x) = \(\frac{x-8}{2}\)

Dalam fungsi invers ada rumus khusus seperti berikut ini

D. Hubungan Sifat Fungsi Invers Dengan Fungsi Komposisi

Berikut adalah hubungan antara fungsi komposisi dan fungsi invers.

\((f \circ f^{-1})\) = \((f \circ f^{-1})\)(x) = I (x)

\((f \circ g)^{-1}\)(x) = \((g^{-1}\circ f^{-1})\) (x)

\((f\circ g)(x)=h(x)\rightarrow f(x)=(h\circ g^{-1})(x)\)

Sudah paham kan mengenai fungsi komposisi dan fungsi invers? Kamu bisa latihan soal mengenai fungsi komposisi dan fungsi invers di artikel Contoh Soal Fungsi Komposisi dan Contoh Soal Fungsi Invers. Kalau ingin belajar lebih lanjut lagi tentang fungsi komposisi dan fungsi invers kamu bisa mempelajarinya dengan pengajar terbaik dari Teman Belajar. Cukup download aplikasi Teman Belajar di Playstore, lalu pesan guru les privat Matematika favoritmu.